~|| هُطُوْلٌ ..

مساحةٌ حرّة .. بِنِقَاشِكُم / تَجاربكم .. أزدادُ ثَرَاءً ..!

~|| شرح بعض المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي .. 28 نوفمبر 2012

Filed under: ~|| غَيْثٌ .. — so0osa @ 8:35 م

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ..

صبحكم الله / مسّاكم الله بكل خير ~

.

.

هذه التدوينة ستكون عبارة عن شرح لبعض المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي بإذن الله ، وهي :

.

vector space

subspace set

spanning set

linear independent

basis

dimension

.

.

* سأعتمد في هذه التدوينة على المرجع :

Linear Algebra -JIM HEFFERON

.

.

وقبل أن ابدأ ، أحب أوضح إني قدر الإمكان حاولت أشرح المفاهيم باللغة العربية ، لكن أسماء المصطلحات للأسف ما أعرف ترجمتها بالإضافة إلى أنه لا توجد مقاطع عربية !

لذلك أعتذر عن هذا الأمر ..

.

[أولا]

إذًا المقصود بالـ vector space هو :

أن A هو vector space بشرط تحقق العشرة شروط المذكورة تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي ، والشروط هي :

1/ حاصل جمع متجهين يكون متجه . وهذه الخاصية تسمى (closed under addition)

2/ عملية جمع المتجهات هي عملية إبدالية . (commutative)

3/ عملية جمع المتجهات هي عملية تجميعية . (associative)

بمعنى إذا جمعنا المتجه A مع B وحاصل الجمع جمعناه مع المتجه C .. سيكون مساوي للعملية التالية : جمع المتجه B مع C ، وحاصل الجمع نجمعه مع المتجه A .

4/ هناك متجه صفري 0 ، بحيث إذا جمعت أي متجه (وليكن A) مع المتجه الصفري 0 .. فإن الناتج سيكون هو المتجه A.

(zero vector)

5/ كل متجه (وليكن B) له معكوس جمعي (- B) ، بحيث إذا جمعنا المتجه مع معكوسه فإن النتيجة تكون المتجه الصفري . (additive inverse)

6/ حاصل ضرب متجه بعدد حقيقي هو متجه . (closed under scalar multiplication)

7/ حاصل جمع عددين حقيقيين (وليكن r+s) ومن ثم ضربهم في المتجه (وليكن A) يكون مساويا لـ حاصل جمع مضروب كل عدد في المتجه (r.A+s.A) .

8/ حاصل ضرب عدد حقيقي (وليكن r) في مجموع متجهين (وليكن A+B) يكون مساويا لـ حاصل جمع مضروب كل متجه بالعدد (rA+rB) .

9/ حاصل ضرب عددين (rs) ومن ثم ضربهم بمتجه A يُساوي حاصل ضرب عدد بمتجه rA ومن ثم ضرب الناتج بالعدد الآخر s .

10/ حاصل ضرب العدد الحقيقي واحد (1) بأي متجه هو المتجه نفسه .

.

نلاحظ أن الخمسة الشروط الأولى مختصة بعملية الجمع ، وأما الخمسة الشروط الأخيرة تختص بعملية الضرب القياسي (أي ضرب عدد بمتجه) ..

هنا شرح رائع للمتجهات والشروط العشرة ، تبدأ الجزئية من 00:07:40

وهنا توضيح أكبر للشروط العشرة ، تبدأ جزئية شرح الشروط من 00:02:02 إلى 00:03:46

.

.

كيف أعرف أن مجموعة معينة تعتبر vector space ؟

علينا تطبيق الـ10 شروط جميعها ، فإذا تحققت أصبحت vector وإلا فلا .

.

.

مثال على ذلك :

نبدأ الآن بالتحقق من الشروط العشرة :

وبهذا تمّ التأكد من الشروط الخمسة المختصة بعملية الجمع . والآن نبدأ بالشروط الخاصة بالضرب القياسي :

والآن الشرطان الأخيران ..

تجدون مثالا آخر في الفيديو السابق في :

00:06:23

.

.

مجموعات تُعتبر vector space وتُحقق الشروط العشرة :

الأعداد الحقيقية – الأعداد المركبة – المصفوفات من الرتبة 2×2 – الأعداد النسبية … وغيرهم

مجموعة لا تُعتبر vector space :

الأعداد الطبيعية ؛ لعدم وجود المعكوس الجمعي ….

.

.

.

.

[ثانيًا]

إذًا المقصود بالـ subspace أنها مجموعة جزئية من الـ vector space وتُعتبر vector space في نفسها تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي.

.

.

كيف أعرف أن ما أمامي هو subspace ؟

عن طريق التركيبات الخطية linear combinations والتي بدورها تُحقق خاصيتي الـ closed .

في هذا المقطع توضيح للمقصود بالتركيبات الخطية ، الجزئية من بداية المقطع وحتى 00:07:55

.

.

أمثلة على ذلك ..

وهنا مثالين آخرين من أحد المواقع :

هنا شرح أكثر للـ subspace مع مثالين

.

.

.

[ثالثًا]

.

.

بمعنى أن الـ spanning set تتشكل من جميع التركيبات الخطية الممكنة والتي تحقق الـ vector space ..

.

.

كيف أقدر أجيب الـ spanning لأي متجه؟

عن طريق ضرب جميع مركبات المتجه بعدد ثابت ومساواتها بأي متغيرات (ولتكن x,y) ، ولتوضيح ذلك سنآخذ عدة أمثلة ..

.

.

هنا مثال آخر ، من بداية المقطع وحتى 00:12:14

وهنا شرح رائع وبالتفصيل مع مثال لمفهوم الـ spanning .

.

.

[رابعا]

المتجه يُعتبر مستقلًا خطيا (linearly independent) في حالة عدم قدرتنا على كتابة أحد عناصره بدلالة الآخر ، وإن استطعنا كتابة أحد عناصره بدلالة الآخر فيُعتبر مرتبطا خطيا (linearly dependent).

.

.

كيف أعرف أن المتجه مستقلا خطيا أو لا؟

عن طريق ضرب كل عنصر من عناصره بثابت إختياري وليكن (c) ومن ثم جمعهم ومساواتهم بالصفر .. فإذا كانت جميع الثوابت الاختيارية تساوي الصفر فهي مستقلة خطيا ..

وإذا كان أحد تلك الثوابت غير الصفر فهي مرتبطة خطيا ، وهنا بعض الأمثلة للتوضيح ..

.

.

.

وهنا مثال آخر من نفس المرجع :

.

مقاطع مفيدة تُوضح الاستقلال الخطي :

(1)

شرح لمفهوم الاستقلال ، مع مثال بالتفصيل الممل ..

(2)

نفس صاحب المقطع السابق يشرح المثال الآخر ..

(3)

هذا المقطع يوضح 6 نقاط تجعلك تعرف إذا كان المتجه مستقل خطيا أو لا .. جميل جدًا ..!

.

.

.

[خامسًا]

أي أن الأساس لأي متجه هي المتسلسلة التي تكوّن مجموعة مستقلة خطيا وتكون مولدة للـspace..

.

.

كيف أتحقق من أن المجموعة التي أمامي هي أساس للمتجه؟

1/ إثبات أنها مستقلة خطيًا ..

2/ إثبات إنها spanning set ..

كما في هذا المثال ..

.

.

.

.

كيف أوجد الأساس في نظام المعادلات الخطية؟

أتمنى أن يُجيب المثال التالي على هذا التساؤل..!

.


.

هنا مقطع يوضح مفهوم الأساس ، ويُعطي أمثلة على ذلك ..

.

.

[سادسًا]

أي أن بُعد الـ vector space هو عدد المتجهات في أيّ من أساساتها !

.

.

كيف أعرف البعد dimension لأي متجه أمامي ؟

1/ إيجاد الأساس basis

2/ حساب عدد العناصر وهو يساوي عدد أبعاد المتجه .

.

.

مثلا :

المجموعة R2 عدد أبعادها هو 2

المجموعة R6 عدد أبعادها هو 6

بشكل عام مجموعة الأعداد Rn عدد أبعادها هو n

أما فيما يخص كثيرات الحدود فنُضيف واحد على درجتها ، مثلا

كثيرة الحدود P3 عدد أبعادها هو 4

كثيرة الحدود P9 عدد أبعادها هو 10

وبشكل عام فإن كثيرة الحدود Pn عدد أبعادها هو n+1

.

.

بعض المقاطع الموضِّحة لمفهوم البعد dimension ..

(1)

(2)

.

أتمنى أن أكون قد وُفقت لتوضيح هذه المفاهيم الستة ، ولا أكون قد أحدثت أي (لخبطة) في معلوماتكم ..

تم الانتهاء من كتابة هذه التدوينة يوم الاربعاء 14/ 1 /1434هـ

أختكم : So0osa

والله لو جرف العدو بيوتنا ورمت بنا خلف المحيط زوابع
لظللت أؤمن أن أمتنا لها يوم من الأمجاد أبيض ناصع
هذي حقائقنا وليست صورة وهمية فيها العقول تنازع
أنا لن أمل من النداء فربما أجدى نداء من فؤادي نابع

* د. عبدالرحمن العشماوي

 

29 Responses to “~|| شرح بعض المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي ..”

  1. الله يكرمك بجد الكلام دا انا عن نفسي محتاجه جداً لأننا في اعدادي ودخلنا ع طوول في منهج الجبر بس مش اخدنا الكلام دا و احتاجناه عشان نقدر نفهم بس الحمد لله فيه ناس برده لسا بتحب الخير ألف شكر بجد

    • so0osa Says:

      الله يجزاك خير ~
      سعيدةٌ ؛ لأنك تستفيد مما أكتب ..
      الله يوفقك ويسهلك دراستك واختباراتك ،

  2. hocine Says:

    thksssss

  3. والله ما انجحت بالامتحان كنت راح ارسب لولا هدا الشرح الله يعطيكي العافيو والله ماقصرتي جزاك الله خيرا

  4. لمى Says:

    شكرررررا جزيلا
    عندي اختبار بكرا واستفدت كثير
    جزاك الله خير وفي موازين حسناتك حبيبتي❤

  5. الروك Says:

    Thank you for your wonderful explanation and I’m waiting for more

  6. .. Says:

    الله يسسسعدك ويجزاك ككل خير هالدرس مأزمني ومستصعبته شوي وعندي فيه اختبار بعد بكره .. لكن فعلا الشرح واضح وبسيط وخفف علي هم الاختبار .. جزيتِ الفردوس ♥

  7. ريم Says:

    يسلمو ايديكي كتير كتير يا عسولة
    الله يجزيك الخير موفقة يا رب♥♥
    لولاك كان ما فهمتو بتاتاا
    وامتحاني بكرة دعواتك

    • so0osa Says:

      يسسلمك ربي با عسل على هالدعوات الجميييلة ♥_♥
      لولا فضل الله ما كان كتبته هون ..
      موفقة باختبارك ودراستك وفالك الدرجة الكاملة دايما يارب ()

  8. yaser Says:

    thanks a lot..
    It was useful for me
    I hope that you achieve all your goals in your life
    thanks

  9. مشكورييييييييييييييييييييييييييييييييييييين

  10. Siham Says:

    الله يسعدك يارب
    نبي بعد عن المنطق والاحصاء 😭😭

    • so0osa Says:

      واياك يارب ~
      للأسف تخصصي رياضيات – رياضيات تطبيقية
      ما أقدر أفيدك في الإحصاء والمنطق :‘

  11. باسم Says:

    طيب عندنا الدكتور يجيب x^2 ولا شرحها لنا تعتبر من p ؟

    يعني pn الدايمنشن n+1

  12. Sult love Says:

    شكرا وجزاكم الله خير

  13. salah Says:

    Show that {(a, b, 1)|a, b ∈ R} cannot be a subspace of R2

    CAN U HELP ME TO SOLVE THIS QUESTION

    • so0osa Says:

      في البداية لازم نعرف كيف طريقة إثبات إن المجموعة جزئية من فضاء إتجاهي ..
      الطريقة ببساطة عن طريق التركيبة الخطية بحيث إن التركيبة تحقق خاصيتي إغلاق الجمع والضرب ..

      لكن هل كان المطلوب تثبتها في R2 أو R3؟
      بحاول أحلها في الاثنين ..

      * إذا كان المطلوب تثبت إنها ليست مجموعة جزئية من R2:
      طبعًا واضح جدّا إنها مي جزئية من R2 لأنها مكونة من 3 مركبات بينما دائما الـ R2 تكون مكونة من مركبتين فقط
      فأكيد مارح تكون جزئية من الـ R2 .

      * أما إذا كان المطلوب تثبت إنها ليست مجموعة جزئية من R3:
      ممكن تحلها بنفس الطريقة المذكورة في التدونية ، أو ممكن طريقة أسهل وهي كالتالي:
      #المجموعة تقول عنها جزئية في حال توفرت عدة شروط: 1- الصفر ينتمي لها 2- الإغلاق في الجمع والضرب
      ونبدأ بالشرط الأول:
      If we let
      (a,b,1) = (0,0,0)
      a=0
      b=0
      1=!0
      هنا الواحد لا يمكن يساوي الصفر، بالتالي ما تحقق الشرط الأول فمعناته المجموعة غير جزئية من R3

      إن شاء الله يكون ردي أفادك، وبالتوفيق

  14. .. Says:

    شكؤاً شكراً من القلب ، الله يجعلها صدقة علم و بموازيين حسناتك ان شاء الله ،، ما تتصورين قد ايش استفدت منك .. ممكن تكملين ارجوك 3> 3>

  15. عبدالعزيز Says:

    الله يجزيك خير و يغفر لك ولوالديك على الشرح

  16. محمد صادق مسلم Says:

    الله يجزيك الخير و ان شاء الله في ميزان حسناتك

  17. الباشق Says:

    جزاك الله خيرا

  18. الباشق Says:

    شكرا جزيلا


أضف تعليقاً

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

WordPress.com Logo

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   / تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   / تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   / تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   / تغيير )

Connecting to %s